题目
对于 x, y \in \mathbb{ R } 且 x, y \neq 0，满足：
\begin{cases}
( x^{ 3 } + 2 a ) ( 2^{ x } + 1 ) = 1 - 2^{ x } \\
( 4 y^{ 3 } - a ) ( 4^{ y } + 1 ) = \dfrac{ 1 - 4^{ y } }{ 2 } \\
\end{cases}
其中 a 为保证 x, y 有解的常数。
求：
\dfrac{ ( 3^{ x } + 1 ) ( 9^{ y } - 1 ) + ( 3^{ x } - 1 ) ( 9^{ y } + 1 ) + ( 3^{ x } + 1 ) ( 9^{ y } + 1 ) }{ ( 3^{ x } + 1 ) ( 9^{ y } + 1 ) }
解析
考虑对题目中的式子进行变形，得到：
\begin{cases}
x^{ 3 } + 2 a + \dfrac{ 2^{ x } - 1 }{ 2^{ x } + 1 } = 0 \\
2 \left ( 4 y^{ 3 } - a + \dfrac{ 4^{ y } - 1 }{ 2 ( 4^{ y } + 1 ) } \right ) = 0 \\
\end{cases}
即：
\begin{cases}
x^{ 3 } + 2 a + \dfrac{ 2^{ x } - 1 }{ 2^{ x } + 1 } = 0 \\
( 2 y )^{ 3 } - 2 a + \dfrac{ 2^{ 2 y } - 1 }{ 2^{ 2 y } + 1 } = 0 \\
\end{cases}
令 f ( t ) = t^{ 3 } + \dfrac{ 2^{ t } - 1 }{ 2^{ t } + 1 }，再得：
\begin{cases}
f ( x ) + 2 a = 0 \\
f ( 2 y ) - 2 a = 0 \\
\end{cases}
即：
f ( x ) = -f ( 2 y )
不难发现 f ( t ) 是一个奇函数，且是一个单射函数，所以有：
x = -2 y
分析所求式子，裂项变形得到所求即：
\dfrac{ 3^{ x } - 1 }{ 3^{ x } + 1 } + \dfrac{ 3^{ 2 y } - 1 }{ 3^{ 2 y } + 1 } + 1
令 g ( t ) = \dfrac{ 3^{ t } - 1 }{ 3^{ t } + 1 }，则所求即：
g ( x ) + g ( 2 y ) + 1
不难发现 g ( t ) 也为奇函数，所以有：
g ( x ) = -g ( 2 y )
则所求即为 1。
by TZ。