题目
令 f ( x ) = \min \left \{ 2 + \log_{ \frac{ 1 }{ k^{ 2 } } }{ x }, 3 \log_{ k }{ x } \right \}（k \in ( 0, 1 ) \cup ( 1, +\infty )），求 f_{ \max } ( x ) 以及此时的 x。
其中 \min \{ x, y \} = \dfrac{ x + y - | x - y | }{ 2 }，即 x, y 中的较小值。
解析
f ( x ) = \min \left \{ 2 - \dfrac{ 1 }{ 2 } \log_{ k }{ x }, 3 \log_{ k }{ x } \right \}。
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若 k \in ( 1, +\infty )。
则 2 - \dfrac{ 1 }{ 2 } \log_{ k }{ x } 单调递减，3 \log_{ k }{ x } 单调递增。
则 f ( x ) 取得最大值时一定有 2 - \dfrac{ 1 }{ 2 } \log_{ k }{ x } = 3 \log_{ k }{ x }，记此时的 x 为 x_{ 0 }，下证该结论。
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对于 \forall x < x_{ 0 }，因为 2 - \dfrac{ 1 }{ 2 } \log_{ k }{ x } 单调递减，3 \log_{ k }{ x } 单调递增。
所以 2 - \dfrac{ 1 }{ 2 } \log_{ k }{ x } > f ( x_{ 0 } ), 3 \log_{ k }{ x } < f ( x_{ 0 } )，则 f ( x ) = 3 \log_{ k }{ x } < f ( x_{ 0 } )。
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对于 \forall x > x_{ 0 }，同理可得 f ( x ) = 2 - \dfrac{ 1 }{ 2 } \log_{ k }{ x } > f ( x_{ 0 } )。
故 f ( x ) 在 x = x_{ 0 } 时取得最大值。
则移向得 \dfrac{ 7 }{ 2 } \log_{ k }{ x_{ 0 } } = 2，即 \log_{ k }{ x_{ 0 } } = \dfrac{ 4 }{ 7 }。
此时 f ( x_{ 0 } ) = \dfrac{ 12 }{ 7 }, x_{ 0 } = k^{ \frac{ 4 }{ 7 } }。
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若 k \in ( 0, 1 )。
同理可得 f ( x_{ 0 } ) = \dfrac{ 12 }{ 7 }, x_{ 0 } = k^{ \frac{ 4 }{ 7 } }。
综上，f_{ \max } ( x ) = \dfrac{ 12 }{ 7 }，此时 x = k^{ \frac{ 4 }{ 7 } }。
by CXY。