分类：每日一题 - 每日数学

2024-03-01 每日一题 No.040

题目如图所示，在 \triangle ABC 中，AB = 4, AC = 5, BC = 6，I 为内心，H 为外心，M 为 IH 的中点，求 AM。解析设向量 \boldsym

每日一题

题目若 a, b, c 是正实数，求下式的最小值： \dfrac{ a^{ 3 } + 2 }{ b + c } + \dfrac{ b^{ 3 } + 2 }{ c + a } + \dfrac{ c^{ 3 } + 2 }{ a + b } 解析引理：扩展权方和不等式对于 x_{ k },

每日一题

题目若正整数 n 满足：将 ( x + 1 )^{ n } 展开后按 x 的幂次从小到大排序，若存在连续三项的系数为等差数列，则称 n 是“好的”。若三位数 n = \overline{ abc }（即 n = 100 a + 10 b + c）是”好的“，求使得 a + 2 b + 3 c 最小

每日一题

题目如图，在 \triangle ABC 中，N 为线段 AB 上一点，满足 \overrightarrow{ AN } = \alpha \overrightarrow{ NB }，M 为 BC 上一点，满足 \overrightarrow{ CM } = 2 \alpha^{ 3 } \ove

每日一题

题目对 3 \times 2024 的方格图用红、绿、蓝三种颜色进行染色，每个格子都等概率的是三种颜色之一，求任意两个相邻格子颜色都不相同的概率（可用指数形式表示）。解析设 a_{ n } 表示 3 \times n 的方格图用红、绿、蓝三种颜色进行染色，任意两个相邻格子颜色都不相同的方案数。

每日一题

题目若 ( w, x, y, z ) 为方程 w + x + y + z = 100 的正整数解，求其中 w \leq x \leq y \leq z 的概率。解析由插板法可得方程 w + x + y + z = 100 的所有正整数解 ( w, x, y, z ) 共有 \binom{ 99

每日一题

题目二次函数 f ( x ) 满足： f ( f ( x ) ) = -8 x^{ 4 } + 40 x^{ 3 } - 36 x^{ 2 } - 35 x 求 \sqrt{ f ( x ) } 的值域。解析设 f ( x ) = a x^{ 2 } + b x + c，则有： f ( f (

每日一题

题目设正实数 a, b, c, d 满足 a^{ 2 } + b^{ 2 } + c^{ 2 } + d^{ 2 } = 4，求下式的最小值： \dfrac{ a^{ 3 } }{ 2 } + \dfrac{ b^{ 3 } }{ 4 } + \dfrac{ c^{ 3 } }{ 5 } + \d

每日一题

题目有一枚均匀的硬币（即抛出正反面的概率相同），反复抛该硬币直至连续四次抛掷出现“正反反正”局面，求期望抛多少次硬币。解析设 a_{ 0 } 是从还没开始投到停止的期望次数，a_{ 1 } 是从“正”局面到停止的期望次数，a_{ 2 } 是从“正反”局面到停止的期望次数，a_{ 3 } 是从“

每日一题

题目求解函数方程： f ( x ) + 2 f \left ( \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 } \right ) = x 解析令 u = \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 }, \dfrac{ u - 1 }{ u + 1 } = -\dfrac{ 1 }{ x }

每日一题