题目
给定数列 \{ a_{ n } \}，满足 a_{ 1 } = 1 且 \forall n \in [ 2, +\infty ) \cap \mathbb{ N_{ + } }, a_{ n } = n + \log_{ n }{ a_{ n - 1 } }。
给定数列 \{ b_{ n } \}，满足 \forall n \in \mathbb{ N_{ + } }, b_{ n } = \lfloor a_{ n } \rfloor。
求 b_{ n } 通项公式。
其中 \lfloor x \rfloor 表示不超过 x 的最大整数。
解析
经过试验可发现 a_{ n } \in [ n, n + 1 )，下用数学归纳法证该结论。
当 n = 1 时，a_{ 1 } = 1 \in [ 1, 2 ) 成立。
若当 n = k（k \geq 1）时上述条件成立，则 a_{ k } \in [ k, k + 1 )。
则 \log_{ k + 1 }{ a_{ k } } \in [ \log_{ k + 1 }{ k }, \log_{ k + 1 }{ ( k + 1 ) } )。
因为 k \geq 1，所以 \log_{ k + 1 }{ k } \geq \log_{ k + 1 }{ 1 } = 0。
所以 \log_{ k + 1 }{ a_{ k } } \in [ 0, 1 )。
所以 a_{ k + 1 } = k + 1 + \log_{ k + 1 }{ a_{ k } } \in [ k + 1, k + 2 )。
即当 n = k + 1 时，上述条件成立。
由数学归纳法可得 a_{ n } \in [ n, n + 1 )
故 b_{ n } = \lfloor a_{ n } \rfloor = n。
by ZHX。