题目
设正实数 a, b, c, d 满足 a^{ 2 } + b^{ 2 } + c^{ 2 } + d^{ 2 } = 4，求下式的最小值：
\dfrac{ a^{ 3 } }{ 2 } + \dfrac{ b^{ 3 } }{ 4 } + \dfrac{ c^{ 3 } }{ 5 } + \dfrac{ d^{ 3 } }{ 6 }
解析
由权方和不等式，可得：
\begin{aligned}
\dfrac{ a^{ 3 } }{ 2 } + \dfrac{ b^{ 3 } }{ 4 } + \dfrac{ c^{ 3 } }{ 5 } + \dfrac{ d^{ 3 } }{ 6 } & = \dfrac{ \left ( a^{ 2 } \right )^{ \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 4^{ \frac{ 1 }{ 2 } } } + \dfrac{ \left ( b^{ 2 } \right )^{ \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 16^{ \frac{ 1 }{ 2 } } } + \dfrac{ \left ( c^{ 2 } \right )^{ \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 25^{ \frac{ 1 }{ 2 } } } + \dfrac{ \left ( d^{ 2 } \right )^{ \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 36^{ \frac{ 1 }{ 2 } } } \\
& \geq \dfrac{ \left ( a^{ 2 } + b^{ 2 } + c^{ 2 } + d^{ 2 } \right )^{ \frac{ 3 }{ 2 } } }{ ( 4 + 16 + 25 + 36 )^{ \frac{ 1 }{ 2 } } } \\
& = \dfrac{ 4^{ \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 81^{ \frac{ 1 }{ 2 } } } \\
& = \dfrac{ 8 }{ 9 }
\end{aligned}
当且仅当 \dfrac{ a }{ 2 } = \dfrac{ b }{ 4 } = \dfrac{ c }{ 5 } = \dfrac{ d }{ 6 } 也即 a = \dfrac{ 4 }{ 9 }, b = \dfrac{ 8 }{ 9 }, c = \dfrac{ 10 }{ 9 }, d = \dfrac{ 4 }{ 3 } 时原式取得最小值 \dfrac{ 8 }{ 9 }。
by CXY。