题目
若 ( w, x, y, z ) 为方程 w + x + y + z = 100 的正整数解，求其中 w \leq x \leq y \leq z 的概率。
解析
由插板法可得方程 w + x + y + z = 100 的所有正整数解 ( w, x, y, z ) 共有 \binom{ 99 }{ 3 } = 156849 组。
其中 w, x, y, z 满足以下条件时：
- 构成 a, a, a, a 形式的共有 1 组，在所有解中占据 1 组。
- 构成 a, a, a, b 形式的共有 \left \lfloor \dfrac{ 100 }{ 3 } \right \rfloor - 1= 32 组，在所有解中占据 32 \cdot 4 = 128 组。
- 构成 a, a, b, b 形式的共有 \left \lfloor \dfrac{ 100 }{ 4 } \right \rfloor - 1 = 24 组，在所有解中占据 24 \cdot 6 = 144 组。
- 构成 a, a, b, c 形式的共有 \sum\limits_{ i = 1 }^{ 16 }{ ( i - 1 ) } + \sum\limits_{ i = 17 }^{ 49 }{ ( i - 2 ) } + 1 = 1144 组，在所有解中占据 1144 \cdot 12 = 13728 组。
- 构成 a, b, c, d 形式的共有 \dfrac{ 156849 - 1 - 128 - 144 - 13728 }{ 4! } = 5952 组。
故满足 w \leq x \leq y \leq z 的解共有 1 + 32 + 24 + 1144 + 5952 = 7153 组。
故所求概率为 \dfrac{ 7153 }{ 156849 }。
by CXY。