题目
若 a, b, c 是正实数，求下式的最小值：
\dfrac{ a^{ 3 } + 2 }{ b + c } + \dfrac{ b^{ 3 } + 2 }{ c + a } + \dfrac{ c^{ 3 } + 2 }{ a + b }
解析
引理：扩展权方和不等式
对于 x_{ k }, a_{ k }, p \in \mathbb{ R_{ + } }，且 \lambda \geq 1，有：
\sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ \dfrac{ { x_{ k } }^{ p + \lambda } }{ { a_{ k } }^{ p } } } \geq \dfrac{ 1 }{ n^{ \lambda - 1 } } \dfrac{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ x_{ k } } \right )^{ p + \lambda } }{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ a_{ k } } \right )^{ p } }证明：
由权方和不等式可知：
\sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ \dfrac{ { x_{ k } }^{ p + \lambda } }{ { a_{ k } }^{ p } } } = \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ \dfrac{ \left ( { x_{ k } }^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } } \right )^{ p + 1 } }{ { a_{ k } }^{ p } } } \geq \dfrac{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ { x_{ k } }^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } } } \right )^{ p + 1 } }{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ a_{ k } } \right )^{ p } }又因为 \dfrac{ p + \lambda }{ p + 1 } - 1 \geq 0，再由权方和不等式可知：
\sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ { x_{ k } }^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } } } = \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ \dfrac{ { x_{ k } }^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } } }{ 1^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } - 1 } } } \geq \dfrac{ \left ( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ x_{ k } } \right )^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } } }{ n^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } - 1 } }结合上述两不等式可得：
\sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ \dfrac{ { x_{ k } }^{ p + \lambda } }{ { a_{ k } }^{ p } } } \geq \dfrac{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ { x_{ k } }^{ \frac{ p + \lambda }{ p + 1 } } } \right )^{ p + 1 } }{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ a_{ k } } \right )^{ p } } \geq \dfrac{ 1 }{ n^{ \lambda - 1 } } \dfrac{ \left ( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ x_{ k } } \right )^{ \lambda } }{ \left( \sum\limits_{ k = 1 }^{ n }{ a_{ k } } \right )^{ p } }当且仅当 x_{ 1 } = x_{ 2 } = \ldots = x_{ n } 且 a_{ 1 } = a_{ 2 } = \ldots = a_{ n } 时取等。
令 \sigma = a + b + c，由扩展权方和不等式可知：
\dfrac{ a^{ 3 } }{ b + c } + \dfrac{ b^{ 3 } }{ c + a } + \dfrac{ c^{ 3 } }{ a + b } \geq \dfrac{ ( a + b + c )^{ 3 } }{ 6 ( a + b + c ) } = \dfrac{ \sigma^{ 2 } }{ 6 }
由权方和不等式可知：
\dfrac{ 2 }{ b + c } + \dfrac{ 2 }{ c + a } + \dfrac{ 2 }{ a + b } \geq \dfrac{ 9 }{ a + b + c } = \dfrac{ 9 }{ \sigma }
由基本不等式可得：
\dfrac{ a^{ 3 } + 2 }{ b + c } + \dfrac{ b^{ 3 } + 2 }{ c + a } + \dfrac{ c^{ 3 } + 2 }{ a + b } \geq \dfrac{ \sigma^{ 2 } }{ 6 } + \dfrac{ 9 }{ \sigma } \geq 3 \sqrt[ 3 ]{ \dfrac{ \sigma^{ 2 } }{ 6 } \cdot \dfrac{ 9 }{ 2 \sigma } \cdot \dfrac{ 9 }{ 2 \sigma } } = \dfrac{ 9 }{ 2 }
当 a = b = c = 1 时取等。
by CXY。