2024-02-26 每日一题 No.036

题目

对 3 \times 2024 的方格图用红、绿、蓝三种颜色进行染色，每个格子都等概率的是三种颜色之一，求任意两个相邻格子颜色都不相同的概率（可用指数形式表示）。

解析

设 a_{ n } 表示 3 \times n 的方格图用红、绿、蓝三种颜色进行染色，任意两个相邻格子颜色都不相同的方案数。

考虑 a_{ n } 的递推方式。不难发现对于第 n 列，这一列三个格子的染色方案一定是下面的方案之一（\mathtt{ R }, \mathtt{ G }, \mathtt{ B } 分别表示红、绿、蓝三种颜色）：

注意到这些方案只有两种本质不同的方案，即形为 \mathtt{ ABA } 和形为 \mathtt{ ABC }，考虑这两种的区别：

• 对于第 n 列为形为 \mathtt{ ABA } 的染色方案，不妨为 \mathtt{ RGR }，那么第 n + 1 列只能为以下 5 种染色方案：

  \mathtt{ GRB }, \mathtt{ GRG }, \mathtt{ GBG }, \mathtt{ BRG }, \mathtt{ BRB }

• 对于第 n 列为形为 \mathtt{ ABC } 的染色方案，不妨为 \mathtt{ RGB }，那么第 n + 1 列只能为以下 5 种染色方案：

  \mathtt{ GRB }, \mathtt{ GRG }, \mathtt{ GBR }, \mathtt{ GBG }, \mathtt{ BRG }

不难发现无论第 n 列的染色方案是哪一种，第 n + 1 列一定会有 5 种选择，即 a_{ n + 1 } = 5 a_{ n }，又因为有 a_{ 1 } = 12，故 a_{ n } = 12 \cdot 5^{ n - 1 }。

故所求概率为 \dfrac{ a_{ 2024 } }{ 3^{ 3 \cdot 2024 } } = \dfrac{ 12 \cdot 5^{ 2023 } }{ 3^{ 6072 } }。

by CXY。