题目
二次函数 f ( x ) 满足：
f ( f ( x ) ) = -8 x^{ 4 } + 40 x^{ 3 } - 36 x^{ 2 } - 35 x
求 \sqrt{ f ( x ) } 的值域。
解析
设 f ( x ) = a x^{ 2 } + b x + c，则有：
f ( f ( x ) ) = a^{ 3 } x^{ 4 } + 2 a^{ 2 } b x^{ 3 } + \left ( a b^{ 2 } + 2 a^{ 2 } c + a b \right ) x^{ 2 } + \left ( 2 a b c + b^{ 2 } \right ) x + \left ( a c^{ 2 } + b c + c \right )
则有：
\begin{cases}
a^{ 3 } = -8 \\
2 a^{ 2 } b = 40 \\
a b^{ 2 } + 2 a^{ 2 } c + a b = -36 \\
2 a b c + b^{ 2 } = -35 \\
a c^{ 2 } + b c + c = 0
\end{cases}
可以解得 a = -2, b = 5, c = 3，则 f ( x ) = -2 x^{ 2 } + 5 x + 3。
则 \sqrt{ f ( x ) } \leq \sqrt{ f \left ( \dfrac{ 5 }{ 4 } \right ) } = \dfrac{ 7 \sqrt{ 2 } }{ 4 }。
故 \sqrt{ f ( x ) } 值域为 \left [ 0, \dfrac{ 7 \sqrt{ 2 } }{ 4 } \right ]。
by CXY。