题目
如图所示，在 \triangle ABC 中，AB = 4, AC = 5, BC = 6，I 为内心，H 为外心，M 为 IH 的中点，求 AM。
解析
设向量 \boldsymbol{ b } = \overrightarrow{ AB }, \boldsymbol{ c } = \overrightarrow{ AC }，则 \overrightarrow{ BC } = \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b }。
因为 I 在三角形的两条角平分线上，所以有 \overrightarrow{ AI } = \lambda_{ 1 } \left ( \dfrac{ \boldsymbol{ b } }{ | \boldsymbol{ b } | } + \dfrac{ \boldsymbol{ c } }{ | \boldsymbol{ c } | } \right ) = \dfrac{ \lambda_{ 1 } }{ 4 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ \lambda_{ 1 } }{ 5 } \boldsymbol{ c }，且有 \overrightarrow{ BI } = \mu_{ 1 } \left ( \dfrac{ -\boldsymbol{ b } }{ | -\boldsymbol{ b } | } + \dfrac{ \boldsymbol{ \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } } }{ | \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } | } \right ) = \dfrac{ \mu_{ 1 } }{ 6 } \boldsymbol{ c } - \dfrac{ 5 \mu_{ 1 } }{ 12 } \boldsymbol{ b }，且 \overrightarrow{ BI } = \overrightarrow{ BA } + \overrightarrow{ AI } = \dfrac{ \lambda_{ 1 } - 4 }{ 4 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ \lambda_{ 1 } }{ 5 } \boldsymbol{ c }，由于 \boldsymbol{ b }, \boldsymbol{ c } 不共线，故有：
可以解得 \lambda_{ 1 } = \dfrac{ 4 }{ 3 }，故 \overrightarrow{ AI } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ 4 }{ 15 } \boldsymbol{ c }。
由余弦定理可得 \cos{ A } = \dfrac{ AC^{ 2 } + AB^{ 2 } - BC^{ 2 } }{ 2 AC \cdot AB } = \dfrac{ 1 }{ 8 }, \cos{ B } = \dfrac{ 9 }{ 16 }, \cos{ C } = \dfrac{ 3 }{ 4 }
因为 H 在三角形的两条高上，所以有 \overrightarrow{ AH } = \lambda_{ 2 } \left ( \dfrac{ \boldsymbol{ b } }{ | \boldsymbol{ b } | \cos{ B } } + \dfrac{ \boldsymbol{ c } }{ | \boldsymbol{ c } | \cos{ C } } \right ) = \dfrac{ 4 \lambda_{ 2 } }{ 9 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ 4 \lambda_{ 2 } }{ 15 } \boldsymbol{ c }，且有 \overrightarrow{ BH } = \mu_{ 2 } \left ( \dfrac{ -\boldsymbol{ b } }{ | -\boldsymbol{ b } | \cos{ A } } + \dfrac{ \boldsymbol{ \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } } }{ | \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } | \cos{ C } } \right ) = \dfrac{ 2 \mu_{ 2 } }{ 9 } \boldsymbol{ c } - \dfrac{ 20 \mu_{ 2 } }{ 9 } \boldsymbol{ b }，且 \overrightarrow{ BH } = \overrightarrow{ BA } + \overrightarrow{ AH } = \dfrac{ 4 \lambda_{ 2 } - 9 }{ 9 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ 4 \lambda_{ 2 } }{ 15 } \boldsymbol{ c }，由于 \boldsymbol{ b }, \boldsymbol{ c } 不共线，故有：
可以解得 \lambda_{ 2 } = \dfrac{ 9 }{ 28 }，故 \overrightarrow{ AH } = \dfrac{ 1 }{ 7 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ 3 }{ 35 } \boldsymbol{ c }。
故 \overrightarrow{ AM } = \dfrac{ 1 }{ 2 } \left ( \overrightarrow{ AI } + \overrightarrow{ AH } \right ) = \dfrac{ 5 }{ 21 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ 37 }{ 210 } \boldsymbol{ c }。
故 AM = \left | \overrightarrow{ AM } \right | = \sqrt{ \left | \dfrac{ 5 }{ 21 } \boldsymbol{ b } \right |^{ 2 } + \left | \dfrac{ 37 }{ 210 } \boldsymbol{ c } \right |^{ 2 } + 2 \left | \dfrac{ 5 }{ 21 } \boldsymbol{ b } \right | \left | \dfrac{ 37 }{ 210 } \boldsymbol{ c } \right | \cos{ A } } = \sqrt{ \dfrac{ 53 }{ 28 } } = \dfrac{ \sqrt{ 371 } }{ 14 }。
by CXY。