题目
若正整数 n 满足：将 ( x + 1 )^{ n } 展开后按 x 的幂次从小到大排序，若存在连续三项的系数为等差数列，则称 n 是“好的”。若三位数 n = \overline{ abc }（即 n = 100 a + 10 b + c）是”好的“，求使得 a + 2 b + 3 c 最小的 n。
解析
对于 ( x + 1 )^{ n } 展开后 x^{ k } 的系数为 \binom{ n }{ k } = \dfrac{ n! }{ k! ( n - k )! }。
若 ( x + 1 )^{ n } 展开后存在连续三项的系数为等差数列，不妨设中间项为 x^{ k } 所对应的系数，则剩余两项即为 x^{ k - 1 }, x^{ k + 1 } 所对应的系数，由于其成等差数列，故有：
2 \binom{ n }{ k } = \binom{ n }{ k - 1 } + \binom{ n }{ k + 1 }
即：
\dfrac{ 2 n! }{ k! ( n - k )! } = \dfrac{ n! }{ ( k - 1 )! ( n - k + 1 )! } + \dfrac{ n! }{ ( k + 1 )! ( n - k - 1 )! }
等式两边同乘 \dfrac{ ( k + 1 )! ( n - k + 1 )! }{ n! } 可得：
2 ( k + 1 ) ( n - k + 1 ) = k ( k + 1 ) + ( n - k ) ( n - k + 1 )
即：
4 k^{ 2 } - 4 n k + n^{ 2 } - n - 2 = 0
则有 k = \dfrac{ 4 n \pm \sqrt{ ( 4n )^{ 2 } - 16 ( n^{ 2 } - n - 2 ) } }{ 8 } = \dfrac{ n \pm \sqrt{ n + 2 } }{ 2 }。
由于 k 为正整数，故 n + 2 为完全平方数，此时 n 与 \sqrt{ n + 2 } 同奇偶，故 k 一定为正整数。
故所有可能的 n 值为：
119, 142, 167, 194, 223, 254, 287, 322, 359, 398, 439, 482, 527, 574, 623, 674, 727, 782, 839, 898, 959
其中使得 a + 2 b + 3 c 最小的 n 即为 322。
by CXY。