题目
有一枚均匀的硬币（即抛出正反面的概率相同），反复抛该硬币直至连续四次抛掷出现“正反反正”局面，求期望抛多少次硬币。
解析
设 a_{ 0 } 是从还没开始投到停止的期望次数，a_{ 1 } 是从“正”局面到停止的期望次数，a_{ 2 } 是从“正反”局面到停止的期望次数，a_{ 3 } 是从“正反反”到停止的期望，a_{ 4 } 是从“正反反正”到停止的期望，那么显然 a_{ 0 } 即为所求，且有：
\begin{aligned}
a_{ 0 } & = 1 + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 0 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 1 } \\
a_{ 1 } & = 1 + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 1 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 2 } \\
a_{ 2 } & = 1 + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 1 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 3 } \\
a_{ 3 } & = 1 + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 4 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } a_{ 0 } \\
a_{ 4 } & = 0
\end{aligned}
即可解得 a_{ 0 } = 18, a_{ 1 } = 16, a_{ 2 } = 14, a_{ 3 } = 10。
by CXY。