标签：不等式 - 每日数学

2024-01-02 每日一题 No.023

题目若 a, b, c 均为正实数且 2 b > 3 c, 4 c > 5 a，求下式的最小值： 1458 b^{ 5 } + \dfrac{ 1 }{ a ( 2 b - 3 c ) ( 4 c - 5 a ) } 解析由均值不等式可得： \begin{aligned} a ( 2 b - 3

每日一题

题目设函数 f ( x ) = 3^{ x } + m ( x - 2 ) + n 在 [ 2, 4 ] 上存在零点，求 m^{ 2 } + n^{ 2 } 的最小值。解析设零点为 t，即 f ( t ) = 0，则 -3^{ t } = m ( t - 2 ) + n。由柯西不等式可得：

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题目若 x, y > 0，求下式的最小值： \dfrac{ \sqrt{ 6 } x + \sqrt{ 7 x^{ 2 } + 5 y^{ 2 } } }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y } 解析设 \lambda \in [ -1, 1 ]，则有 \begin{ali

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题目设函数 f ( x ) 满足对任意非零实数 x 均有 f \left ( \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = a f ( x ) - 2 x - 7，且 f ( 1 ) = 1。求 F ( x ) = f ( x )（x \in \{ x \mid x \neq 0, f

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题目给定函数 f ( x ) = \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + \dfrac{ 8 }{ x }，若函数 g ( x ) = f ( x ) - a（a \in \mathbb{ R }）有三个零点，为 x_{ 1 }, x_{ 2 }, x_{ 3 } 且 x_{ 1 } <

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题目两正实数 x, y 满足 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } = 1，求 4 x + y 的最大值。请至少用四种方法解决本题。解析法一：基本不等式由均值不等式可得： \begin{aligned} 1 & = 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } \\

每日一题

题目已知函数 f ( x ) 定义域为 ( 0, 2 ) 且有： f ( x ) = \begin{cases} | \ln{ 2 x } |, & 0 < x < 1 \\ \ln{ 2 } + \ln{ ( 2 - x ) }, & 1 \leq x < 2 \end{cases} 有三实数

每日一题

题目对于正实数 x, y, z，求证： \dfrac{ 2 x + y + z }{ \sqrt{ y + z } } + \dfrac{ x + 2 y + z }{ \sqrt{ z + x } } + \dfrac{ x + y + 2 z }{ \sqrt{ x + y } } \geq

每日一题

题目 \forall x, y \in \mathbb{ R }，求证： 4^{ x } - 4^{ y } \leq \dfrac{ \left ( 2^{ x + 2 } - 2^{ y + 1 } - 2^{ y } \right )^{ 2 } }{ 7 } 解析引理：Aczel 不等式（

每日一题

题目对于实数 x, y 满足 x, y > 1，且有： x + 3^{ y } = 54 求 ( 3 x )^{ y + 1 } 的最大值，并指出此时 x 的值。解析令 z = \log_{ 3 }{ x }，则有： 3^{ y } + 3^{ z } = 54 所求即 3^{ ( y

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