题目
若实数 x, y, z \geq 0 满足 x^{ 2 } + y^{ 2 } + z^{ 2 } = 1，求下式的最小值：
\dfrac{ 5 - x }{ 5 - 2 x } + \dfrac{ 5 - y }{ 5 - 2 y } + \dfrac{ 5 - z }{ 5 - 2 z }
解析
考虑建立 \dfrac{ 5 - x }{ 5 - 2 x } 与 x^{ 2 } 之间的联系，由待定系数法不难发现 \dfrac{ 5 - x }{ 5 - 2 x } \geq \dfrac{ x^{ 2 } }{ 3 } + 1，则有：
\dfrac{ 5 - x }{ 5 - 2 x } + \dfrac{ 5 - y }{ 5 - 2 y } + \dfrac{ 5 - z }{ 5 - 2 z } \geq \dfrac{ x^{ 2 } + y^{ 2 } + z^{ 2 } }{ 3 } + 3 = \dfrac{ 10 }{ 3 }
当 x = 1, y = z = 0 时取得等号。
故原式最小值为 \dfrac{ 10 }{ 3 }。
by CXY。