题目
已知 2 \sin{ \theta } + 5 \cos{ \theta } = 3，求 \dfrac{ \sin{ \theta } + 2 \cos{ \theta } }{ 2 \sin{ \theta } - \cos{ \theta } } 的值。
解析
由已知可得 4 \sin^{ 2 }{ \theta } + 20 \sin{ \theta } \cos{ \theta } + 25 \cos^{ 2 }{ \theta } = 9，即：
\dfrac{ 4 \sin^{ 2 }{ \theta } + 20 \sin{ \theta } \cos{ \theta } + 25 \cos^{ 2 }{ \theta } }{ \sin^{ 2 }{ \theta } + \cos^{ 2 }{ \theta } } = \dfrac{ 4 \tan^{ 2 }{ \theta } + 20 \tan{ \theta } + 25 }{ \tan^{ 2 }{ \theta } + 1 } = 9
故：
5 \tan^{ 2 }{ \theta } - 20 \tan{ \theta } - 16 = 0
解得 \tan{ \theta } = \dfrac{ 10 \pm 6 \sqrt{ 5 } }{ 5 }，故所求即：
\dfrac{ \sin{ \theta } + 2 \cos{ \theta } }{ 2 \sin{ \theta } - \cos{ \theta } } = \dfrac{ \tan{ \theta } + 2 }{ 2 \tan{ \theta } - 1 } = \dfrac{ 4 \pm 10 \sqrt{ 5 } }{ 33 }
by CXY。