题目
已知 \sin{ \left ( \theta + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 2 } \right ) } = \cos{ \left ( \theta - \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 3 } \right ) }，求下式的值：
\dfrac{ \sin^{ 2 }{ \left ( \dfrac{ 3 \mathrm{ \pi } }{ 2 } - \theta \right ) } + \sin{ ( 3 \mathrm{ \pi } + \theta ) } \cos{ \left ( \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 2 } - \theta \right ) } }{ \sin{ ( 5 \mathrm{ \pi } - \theta ) } \cos{ ( 3 \mathrm{ \pi } + \theta ) } + \cos^{ 2 }{ ( \mathrm{ \pi } + \theta ) } }
解析
因为 \sin{ \left ( \theta + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 2 } \right ) } = \cos{ \theta } = \cos{ \left ( \theta - \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 3 } \right ) }，故 \cos{ \theta } = \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }, \tan{ \theta } = \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 3 }。
故有：
\begin{aligned}
\dfrac{ \sin^{ 2 }{ \left ( \dfrac{ 3 \mathrm{ \pi } }{ 2 } - \theta \right ) } + \sin{ ( 3 \mathrm{ \pi } + \theta ) } \cos{ \left ( \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 2 } - \theta \right ) } }{ \sin{ ( 5 \mathrm{ \pi } - \theta ) } \cos{ ( 3 \mathrm{ \pi } + \theta ) } + \cos^{ 2 }{ ( \mathrm{ \pi } + \theta ) } } & = \dfrac{ \cos^{ 2 }{ \theta } - \sin^{ 2 }{ \theta } }{ -\sin{ \theta } \cos{ \theta } + \cos^{ 2 }{ \theta } } \\
& = \dfrac{ 1 - \tan^{ 2 }{ \theta } }{ 1 - \tan{ \theta } } \\
& = \dfrac{ 1 - \dfrac{ 1 }{ 3 } }{ 1 - \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 3 } } \\
& = \dfrac{ 3 + \sqrt{ 3 } }{ 3 }
\end{aligned}
by HAR。