题目
已知向量 \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ b }, \boldsymbol{ c } 满足 \dfrac{ | \boldsymbol{ a } | }{ | \boldsymbol{ b } | } = \dfrac{ | \boldsymbol{ b } | }{ | \boldsymbol{ c } | } = 2，且 ( \boldsymbol{ b } - \boldsymbol{ a } ) = 3 ( \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } )，求 \boldsymbol{ a } 与 \boldsymbol{ c } 夹角的余弦值 \cos{ \left < \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ c } \right > }。
解析
不妨 | \boldsymbol{ a } | = 4，则 | \boldsymbol{ b } | = 2, | \boldsymbol{ c } | = 1。
由题可知 \boldsymbol{ b } = \dfrac{ 1 }{ 4 } \boldsymbol{ a } + \dfrac{ 3 }{ 4 } \boldsymbol{ c }，平方可得：
\boldsymbol{ b }^{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 16 } \boldsymbol{ a }^{ 2 } + \dfrac{ 3 }{ 8 } \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ c } + \dfrac{ 9 }{ 16 } \boldsymbol{ c }^{ 2 }
即：
| \boldsymbol{ b } |^{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 16 } | \boldsymbol{ a } |^{ 2 } + \dfrac{ 3 }{ 8 } | \boldsymbol{ a } | | \boldsymbol{ c } | \cos{ \left < \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ c } \right > } + \dfrac{ 9 }{ 16 } | \boldsymbol{ c } |^{ 2 }
即：
4 = 1 + \dfrac{ 3 }{ 2 } \cos{ \left < \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ c } \right > } + \dfrac{ 9 }{ 16 }
即得 \cos{ \left < \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ c } \right > } = \dfrac{ 13 }{ 8 }。
by CXY。